İntegralleri 10 Yaşında Zeki Bir Çocuğa Nasıl Anlatırdınız? | Soru-Cevap

//By Burak Aksoydan 21 Ocak 2021
 

İntegralleri 10 yasindaki zeki bir cocuga nasil aciklarsiniz?

Feynman bir keresinde kuantum mekaniğinin özünde o kadar da karmaşık olmadığını söylemişti. Öğrencilerin üniversitede kuantum mekaniği hakkında bu kadar uzun süre geçirmelerinin nedeni, hesaplamaları yapmayı öğrenmelerinin zaman almasıydı sadece!

Feynman'a ve diğer pek çok bilim insanına göre, bir şeyi konuyla alakası olmayan birinin bile anlayabileceği şekle getirmek, o konuyu mükemmel derecede anlamamızı sağlıyor.

Bu integraller için de geçerlidir. Aslında cebiri, fonksiyonları, dizileri, gerçek sayıları ve yakınsamayı tamamen atlayacağım. Niteliksel olarak, entegrasyon çok temel bir fikirdir.

Entegrasyon, zorunlu olarak dikdörtgen olmayan şekillerin alanını hesaplamamıza izin veren kullanışlı bir araçtır. Şu garip şekle bakalım:

Alanını nasıl hesaplayabiliriz? Kesin olarak söyleyebileceğimiz bir şey, onu çevreleyen kırmızı dikdörtgenden daha küçük olduğudur:

Ama daha iyisini yapabiliriz! Ayrıca, toplam alanın önceki kırmızı dikdörtgenden daha küçük olan bu kırmızı dikdörtgenlerden de daha küçük olduğunu biliyoruz:

Diğer yönden, alanın en azından şeklin içine sığabilecek dikdörtgenler olduğunu biliyoruz (mor-gri alanlar, kırmızı dikdörtgenlerin üzerine yerleştirilmiş mavi dikdörtgenlerdir):

Bu yüzden dikdörtgenlerin sayısını artırarak bu süreci tekrarlamaya devam ediyoruz, hatta onları ayıramayacak kadar çok küçülünceye kadar :

İşte şu anda, dikdörtgenler ile orijinal şekil arasındaki farkı söyleyemeyiz! Bu işlemi kullanarak herhangi bir şeklin alanını çok doğru bir şekilde ölçebileceğimizi görüyoruz.

DİPNOT:

Fakat bekle! Daha iyisini yapabiliriz; bazı döngüler için alanı tam olarak ölçebiliriz ! Bunun nedeni, yukarıdaki işlemin, herhangi bir adımında kırmızı / mavi dikdörtgenlerin toplam alanına karşılık gelen, her renk için bir liste olmak üzere iki sayı listesi oluşturmasıdır. Bazı sayı listelerinin sınırı vardır ve entegrasyon sırasında elde ettiğimiz bazı sayı listeleri için bu sınırı tam olarak hesaplayabiliriz.

Örneğin, diyelim ki bir pastanın her defasında geri kalanını her dakika yarıya bölerek yiyorum. Tüm pastayı yemem için bana meydan okursan, bunu asla başaramayacağım, çünkü işlemin sonunda mutlaka biraz pasta kalacaktır. Bununla birlikte, bana tüm pastadan daha az miktarda pasta yemem için meydan okusaydınız, bunu başarabilirdim! Bu durumda, aslında tüm pastayı yemesem de yediğim pasta miktarının sınırının tam bir pasta olduğunu söylüyoruz.

Aynı şekilde, bazen kırmızı ve mavi dikdörtgenlerin toplamlarının sınırlarını döngü tarafından tanımlanan şekle yaklaştıkça hesaplayabiliyoruz. Bunu yapabildiğimizde (ve iki sınır eşit olduğunda), şeklin bu sınıra eşit bir alana sahip olduğunu söyleriz.

İki sınır eşit değilse (ve bazen durum budur!), Şeklin Riemann integrallenemez olduğunu ve bu nedenle burada açıklanan yöntem (Riemann entegrasyonu) söz konusu olduğunda bir alanı olmadığını söylüyoruz.

(Bir fonksiyonun bir aralıkta belirli integralinin var olması için gerek ve yeter koşul, aralığın sonlu, fonksiyonun sınırlı ve fonksiyonun süreksizlik noktalarının sayılabilir sayıda olmasıdır.)

Matematikçi Tony Wang'dan alıntılar içermektedir.